Como Calcular a Área da Região Sombreada
Quer aprender a resolver a questão 68 do vestibular da UFRGS para calcular a área da região sombreada? Sabendo calcular áreas de arco de círculo e triângulo e com um pouco de esperteza, vai calcular esta questão brincando.
1. Conhecendo a Questão
Primeiramente deves observar o arco que tem centro em BC, o que chamarei de A1.
Já aquele pedaço que está dentro do arco BC que não está som-breada, chamarei de A2.
Para obtermos a área da região sombreada, devemos calcular A1-A2.
Portanto, continue os teus estudos que calcularemos A1, A2 e depois a diferença entre os dois.
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2. Calculando A1 – Área do Semicírculo
Observando o arco de círculo A1, como no enunciado diz que tem centro no ponto médio entre B e C, podemos afirmar que A1 é um semicírculo, logo podemos utilizar a fórmula da área do círculo dividido por 2 (A=πr²/2).
Quem será o raio de A1? Como BC=√2 e também BC é diâmetro, logo o valor do raio será r=√2/2.
Portanto, basta substituirmos o raio na fórmula da área do semicírculo e fazer os cálculos.
Calculando (√2/2)² teremos 2/4 e pegando esta fração e dividindo por dois, teremos como resultado 1/2, e, multiplicando por π, logo A1=π/2.
Segue com este post que ensinarei a calcular o A2.
Mais uma questão de cálculo da área da região sombreada entre um círculo e um quadrado inscrito, CONFERINDO AQUI!
2. Calculando A2
Para calcular A2, tu precisas enxergar oarco de círculo e o triângulo e,…
…. a diferença entre a área do triângulo e a área do arco será o A2.
O segredo para calcular é entender que os lados do triângulo também é o raio do arco de círculo, portanto devemos calcular os lados dos triângulo que automaticamente teremos a área desta figura e a área do arco de círculo.
2.1. Calculando o Raio
Sabendo que o arco de círculo é um quarto, pois como no enunciado o triângulo ABC é um triângulo retângulo e o ângulo em A é 90°, podemos utilizar a fórmula da área do círculo dividido por 4 (Aq=πr/4).
Então para calcularmos Aq, precisamos do raio, mas olhando o triângulo, o raio coincide com os lados deste triângulo retângulo. Como temos o valor de BC, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras.
Claro que a hipotenusa é a √2 e os catetos é o r, logo devemos substituir esses itens na fórmula do teorema e isolar o r.
Fazendo todos os cálculos, o nosso raio valerá 1, se tiver alguma dúvida em relação ao desenvolvimento do cálculo, deixe aqui nos comentários.
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2.2. Calculando a Área do Quarto de Círculo
Como já temos o valor do raio que é 1, basta substituirmos na fórmula Aq=πr/4 o valor do raio.
1² é igual a 1 e 1 multiplicando o π, logo Aq=π/4, agora devemos calcular a área do triângulo para descobrir o A2.
2.3. Calculando a Área do Triângulo
Como descobrimos o valor do raio e, este valor é o mesmo dos lados deste triângulo ABC, ficou muito fácil, bastando utilizar a fórmula da área do triângulo que é (At=Base x Altura / 2).
Como os lados deste triângulo é 1, isto é, a base e a altura valem 1, basta substituir na fórmula, ou seja, At=1×1/2, que terá como resultado At=1/2.
Temos a área do arco e do triângulo, portanto temos condições de calcular A2.
2.4. Agora Sim Calculando A2
Como A2 é a diferença entre a área do 1/4 de círculo e do triângulo, basta fazermos o cálculo da diferença destas áreas.
Claro que vamos deixar a diferença sem fazer maiores cálculos (A2=π/4-1/2), pois não podemos perder tempo e na próxima etapa de cálculo, vai facilitar.
Já te perguntou o porquê que chamamos AO QUADRADO as unidades de área? Se quiser descobrir, CLIQUE AQUI!
3. Finalmente Calculando a Área Sombreada.
Já que temos o A1 e o A2, agora temos condições de calcular a área sombreada, calculando a diferença entre A1 e A2.
Como temos o sinal de menos na frente da expressão -(π/4-1/2), este sinal troca os sinais de dentro pela regra de sinais, tendo como resultado -π/4+1/2.
Lógico que os π/4 se anulam, restando apenas o 1/2, portanto o nosso resultado final é 1/2, que é a alternativa 68 do vestibular da UFRGS de 2026.
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