Vértice de Uma Parábola
Imagina se aparece pra ti uma função quadrática onde tu tens que calcular seus coeficientes, e as únicas informações que aparece é as coordenadas do Vértice e do ponto onde corta o eixo y? Parece algo de outro mundo, mas te digo que é bem tranquilo de calcular. Então, te convido para esta jornada matemática através de uma questão de um concurso.
1. Colocando as Coordenadas no Plano Cartesiano
Para dar início na resolução deste exercício, é importante saber qual questão temos que resolver. A seguir, te apresento a questão a ser resolvida.
As únicas informações que temos para calcular os coeficientes desta equação de 2° grau são as coordenadas do vértice (2,-1)e a que passa a parábola (0,3). Para tu poderes visulaizar melhor, vou te apresentar o Plano Cartesiano.
Começaremos colocando o ponto do vértice (2,-1) no Plano. O primeiro valor sempre será correspondente ao eixo x e o segundo número em relação ao eixo y.
Em seguida, colocaremos o ponto (0,3) no Plano. Uma dica: Quando tiver o número zero em um dos pares da coordenada, o outro ponto sempre cortará o eixo. Neste caso, como o zero é o x e o 3 é o y, então o ponto tocará o 3 no eixo y.
Já que no exercício é mencionado que é uma parábola (Apesar que não precisaria, visto que é uma função quadrática e todas no gráfico formam uma parábola), vamos traçar a parábola sobre os pontos.
Agora, vamos para a resolução do exercício, isto é, encontrar os valores de a, b, e c para fazer o cálculo a+b-c.
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2. O Truque do coeficiente c
Olhando a função f(x)=ax²+bx+c, quando te passarem uma coordenada (0,3) onde no ponto x o valor é zero, o outro valor sempre será a constante c, neste caso o valor do c será 3, ou seja, c=3.
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3. Utilizando a fórmula do x do vértice
A partir de agora, temos que encontrar o valor de a e b, e para isso, utilizaremos a fórmula do x do vértice, isto é, Xv=-b/2a.
Em outras situações, o exercício te dá a função quadrática já com os coeficientes e pede para encontrar a coordenada do vértice, mas neste caso, a coordenada (2,-1) já está dada, então faremos o caminho inverso. Para utilizar a fórmula, usaremos o valor 2 que corresponde ao X do vértice e colocaremos na fórmula.
Agora, basta isolar o b para resolvermos a primeira parte deste problema. Os detalhes estão no quadro abaixo.
Entretanto, se tu observares, não encontramos um valor de b numérico, ou seja, tem o coeficiente a no resultado, o que ainda não nos deu os coeficientes a e b.
Para isso, devemos utilizar esta informação na função f(x) para descobrir o valor de a e depois calcular b.
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4. Calculando a e b
Para calcular a e b, devemos utilizar as informações de f(x), do valor de y da coordenada do vértice e do valor de c.
De início, começamos com a função f(x).
No lugar de f(x), que é igual a y, da na mesma, colocaremos o valor -1, já que este valor corresponde ao y do vértice. No lugar do x substituiremos pelo 2 da coordenada do vértice. Já no coeficiente b substituiremos pela equação calculada no item 3, neste caso b=-4a e no lugar do c colocaremos o número 3 encontrado em 2.
Podemos dar uma “ajeitada” nesta equação, calculando o 2² e multiplicando o -4 por 2.
Isolando a, chegaremos a conclusão que a=1. A seguir tem todos os passos dos cálculos até chegar a 1.
Encontrado a e tendo que b=-4a, basta substituir o valor de 1 na equação de b, o que resultará em b=-4.
Temos os valores de a=1, b=-4 e c=3, agora basta calcular a+b-c, isto é, 1-4-3, que dará -6 e está feita a conta.
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