Utilizando Soma Infinita de Uma PG
Você se depara com uma questão de uma soma infinita e se pergunta: Como posso resolver esta questão? Utilizando a fórmula da Soma Infinita de uma PG, te garanto que vai resolver a questão 61 do vestibular da UFRGS de 2026 e outras questões semelhantes que caem nos vestibulares, ENEM e concursos. Bora aprender!
1. Sabendo se é uma Soma Infinita da PG
Se tu olhares a questão, só pela cara dela já dá para ter uma ideia de que precisamos utilizar a fórmula da soma infinita de uma PG (Progressão Geométrica).
Mas como podemos ter uma ideia de que é uma soma infinita de uma PG?
Primeiramente, sempre quando tem o sinal de + com os três pontinhos, significa que é uma soma infinita. Mas a pergunta que te faço é: Como sei que é uma soma infinita de uma PG?
Para saber se é uma PG (Progressão Geométrica), deveria dividir um dos termos desta soma pelo número anterior, mas como não se pode perder tempo em uma prova de vestibular, te garanto que, tendo frações na soma e, com os denominadores aumentando, pode utilizar a fórmula da soma infinita de uma PG.
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2. Identificando os Elementos da Fórmula da PG
Assumindo que os termos são de uma PG, podemos utilizar a seguinte fórmula:
Onde o a1 é o primeiro termo desta soma e o Q a razão, ou seja, o número que faz os números decrescerem com um certo padrão.
O primeiro termo é óbvio, deve sempre pegar o primeiro termo da soma, neste caso 1/√2.
Agora devemos identificar a razão destes termos. Temos duas alternativas. A primeira pegar qualquer um dos elementos e dividir pelo anterior, ou a segunda alternativa é identificar no olho esta razão, o que eu considero mais fácil.
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3. Identificando a Razão Q da PG
Para identificar a razão sem utilizar a divisão, é muito simples. Geralmente a soma infinita de uma PG traz sempre frações, logo deves olhar o padrão nos numeradores e denominadores destas frações.
Olhando os numeradores, todos os valores são 1, portanto, como estamos falando de PG, isto é, tentando identificar o multiplicador e, como não altera o valor dos denominadores, então o numerador de Q será 1.
Já nos denominadores, se prestares atenção, √2 aparece em todos os números da soma, logo este número não entra em Q. E o que muda nos denominadores? Os números que acompanham √2, e como estes números crescem na ordem de 2 (1, 2, 4,…), portanto o denominador de Q será 2. Concluímos que Q=1/2.
Agora que temos a1 e Q, temos condições de calcular a soma infinita de uma PG.
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4. Calculando a Soma Infinita
Para calcularmos a Soma Infinita da PG, devemos substituir os valores a1 e Q, estes identificados, na fórmula da soma infinita.
Calculando o denominador primeiro, 1-1/2 resulta em 1/2.
Como tem uma divisão de frações, para dividir basta manter a primeira fração, esta multiplicando pela segunda fração invertida, isto e´, 1/2 se transforma em 2/1.
Multiplicando os numeradores (1×2) e os denominadores (√2×1), resultando em uma nova fração, que é quase a resposta da soma.
2/√2 já é uma resposta, porém este valor não consta nas alternativas da questão 61. E agora, o que fazer? Tirar aquele √2 que está no denominador, e para isso, deves multiplicar por uma nova fração utilizando √2 no numerador e denominador.
Agora basta multiplicar os numeradores (2x√2=2√2) e os denominadores (√2x√2), o que justifica ter multiplicado por √2/√2, já que multiplicando √2x√2 resulta em 2.
Como temos o número 2, tanto no denominador como no numerador, podemos cortar estes 2’s, o que resultará em √2, que é a alternativa (C) da questão 61 do vestibular da UFRGS de 2026.
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