Nem Tudo Precisa de Báskara
Em diversas provas de concurso e vestibular, é muito comum aparecerem as famosas equações de 2º grau, e automaticamente, depois de muita tortura na escola em aprender exaustivamente a fórmula de Báskara, lógico que tu não vai querer deixar de usar essa fórmula, mas… e se eu te dissesse que muitas vezes não precisamos utilizar Báskara? E para isso tu vais aprender a Soma e Produto das raízes de uma Equação de 2º Grau.
Este exemplo vem da Questão 48 do vestibular da UFGRS de 2024 que traz o seguinte:
Bora destrinchar este exercício, onde vais ver que é muito fácil.
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1. Propriedade da Soma e Produto das Raízes
Falando em raízes, qualquer equação que possuir pelo menos 1 solução, esta solução chamamos de RAÍZ. Mas em relação a esta propriedade, servirá para resolvermos equações de 2º Grau.
Utilizando uma equação de 2º grau genérica, segue no quadro.
Onde o “a” sempre acompanha o x², o “b” acompanha o x “sozinho”, isto é, com expoente 1, e o “c”, que não acompanha letra alguma.
Para essa propriedade funcionar, o valor de a tem que ser igual a 1, onde o x² aparecerá “sozinho”.
Sabendo disso, vamos super que as raízes desta equação, isto é, soluções desta igualdade, sejam R1 e R2 (Tipo resultados desta equação). Lembrando que as raízes não precisam ser necessariamente diferentes. Tendo estas condições, segue as propriedades:
O que isso tudo significa? Que o produto das raízes sempre será o valor de “c”, e a soma das raízes sempre será o valor de “-b”, ou seja, o “b” com sinal invertido. Isso serve para todas as equações de 2º grau. O bom de dominar essa propriedade é que para muitos concursos e vestibular vai facilitar muito a tua vida.
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2. Vamos Para a Prática
Agora vamos para o exercício proposto neste post.
Traduzindo a questão… O exercício nos traz que A e B são raízes da equação x²+2x-15=0, ou seja, resolvendo esta equação, as soluções seriam correspondentes ao A e ao B. Sendo assim, encontrando as raízes, o exercício pede para calcular AB elevado a A+B.
AB significa produto de A por B, isto é, AxB. A+B está claro. Mas se tu observares, como A e B são raízes, AB e A+B, pela propriedade da Soma e Produto, já tem seus valores definidos, bastando apenas olhar para a equação.
Começando com AB, como é o produto das raízes, pela propriedade o produto das raízes é sempre o valor de “c”. Como “c” na equação é -15, logo AB=-15.
Da mesma forma o A+B, como é a soma das raízes e a propriedade nos diz que a soma das raízes é o “b” com o sinal invertido, e sabendo que o “b” na nossa equação é o +2, logo A+B será -2, isto é, A+B=-2
Como AB=-15 e A+B=-2, basta substituir na expressão dada pelo exercício.
Agora com -15 elevado a -2, basta aplicarmos a propriedade da potência quando o expoente for negativo, o transformando em uma fração, colocando esta potência no denominador desta fração com o numerador igual a 1.
Logo, basta calcular (-15)², o que resultará em 225 positivo, já que (-15)²=(-15)x(-15), onde sinais iguais é “mais” e 15×15 é 225.
Portanto, o resultado final será 1/225 e está feita a conta!
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