Posso Somar uma Quantidade Infinita de Números?
Será possível somar uma quantidade INFINITA de números? Dependendo do tipo de número… simmmmm. Neste artigo tu irás aprender a Soma Infinita de uma PG (Progressão Geométrica), através da questão 47 do vestibular da UFRGS de 2024, onde trouxe a seguinte questão:
Claro que adaptei essa questão focando apenas na soma infinita dos termos de uma PG, pegando o item I e mirando as somas dos dois membros da desigualdade.
Então bora calcular esses termos…
1. Calculando a Primeira Soma
O cálculo da soma dos infinitos termos de uma PG é muito fácil, porém é muito importante identificar que esta sequência realmente é uma Progressão Geométrica e que a razão está entre 0 e 1.
Lembre-se, uma Progressão Geométrica é uma sequência de números onde cada termo é formado por uma multiplicação por um mesmo número.
Por exemplo: Olhando a sequência (3, 6, 12, 24, 48,…), todos eles foram formados multiplicando por 2, pois (3, 6, 12, 24, 48,…) = (3, 3x”2″=6, 6x”2″=12, 12x”2″=24, 24x”2″=48,…). E o número 2 é chamado de Razão.
Voltando para a nossa questão, se tu observares, os termos que estão na soma foram formados pela multiplicação por 1/2.
O que prova que é uma Progressão Geométrica de razão 1/2.
E por último, temos que analisar a razão desta sequência. Para utilizar a fórmula da soma, a razão tem que estar entre 0 e 1 (Na verdade funciona com números negativos, com a razão estando entre -1 e 0). Logo, como a razão do nosso exemplo é 1/2 e, este número está entre 0 e 1, logo podemos utilizar a seguinte fórmula:
Para aprender com mais detalhes, assista o meu vídeo sobre Soma Infinita de uma PG, bastando clicar AQUI!
Para utilizar esta fórmula, basta ter o 1º termo (a1) e a razão dos termos desta soma. Se olhar os termos, o 1º termo é o número 1 e a razão 1/2, então basta substituir esses números na fórmula.
Agora basta calcular. Fazendo o denominador primeiro, 1-1/2 resultará em 1/2. Daí a nossa conta ficará 1 sobre 1/2.
Temos um número inteiro sobre uma fração. Então, para calcular, basta manter o 1 e multiplicar pela fração invertida, isto é, 2/1
Cortando os números “1”, nos resta o número 2, logo o resultado final da Soma dos Termos desta PG é igual a 2.
Temos que verificar a segunda soma, que vem a seguir!
2. Calculando a Segunda Soma
Da mesma forma da primeira soma, temos que verificar se é uma PG e se a razão está entre 0 e 1.
Olhando dois dos termos desta soma, por exemplo, 2/3 e 2/9, um número que multiplicando o 2/3 para resultar em 2/9 é o 1/3 (2/3x1/3=2/9), uma possível razão desta Progressão Geométrica.
O ideal é testar essa multiplicação nos outros termos, porém em um vestibular, como o tempo é curto, pode assumir que é uma PG de razão 1/3 (Mas se fizer o teste, vais ver que realmente é uma PG). Para mais detalhes, tem uma aula completa no meu canal do youtube, clicando aqui!
Agora temos o 1º termo e uma razão, logo podemos somar estes números infinitos utilizando a fórmula da SOMA INFINITA DE UMA PG.
Como o 1º termo (a1) é igual a 2 e a razão q é igual a 1/3, então podemos substituir esses elementos na fórmula.
Agora basta fazer o cálculo, onde o denominador 1-1/3 será igual a 2/3, resultando em 2 sobre 2/3.
Para dividir um número inteiro por uma fração, basta repetir este número e depois multiplicar pela fração invertida.
Agora ficou muito fácil, como o número 2 aparece “em cima” e “embaixo”, podemos cortar esses números, restando apenas o 3, logo a soma infinita desses números é igual a 3.
3. Comparando as Somas
Pra finalizar, temos que comparar as duas somas para ver quem é maior.
Como o resultado da segunda soma (3) é MAIOR que o resultado da primeira (2), logo a segunda soma será maior que a primeira soma.
Para aprender as propriedades da desigualdade numérica, CLIQUE AQUI!
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