Racionais e Logaritmos – Uma Questão da UFRGS
Em um primeiro momento parece um amontoado de informações que parece de outro mundo, mas neste post vou te ensinar de uma maneira simples e didática a resolver a questão 62 do vestibular da UFRGS de 2026, onde envolve os números racionais e logaritmos. Vem comigo nesta jornada matemática.
1. Resolvendo o Item (I) Sobre Racionais
Para analisar se o item está correto, tu deves se atentar para o enunciado da questão 62 que diz o seguinte: “Considere as seguintes afirmações sobre os números RACIONAIS”, e grifei a palavra RACIONAIS pois vai valer de muita importância para saber se este item é falso ou verdadeiro.
No primeiro item da questão afirma que se a e b são positivos (já que são maiores que zero), se calcular b elevado na a, então o resultado vai ser um IRRACIONAL.
Mas primeiro te pergunto: O que é um número racional?
Um número racional é um número que pode ser escrito na forma a/b, onde a e b são inteiros e b diferente de zero.
Te trago dois exemplos para tu veres como é descrito um número racional. O primeiro é 3/4 e o segundo é o 5, pois mesmo o 5 sendo um número que não parece uma fração, tu podes transofrmar o 5 em 5/1, que não altera o número.
Agora que tu sabes o que é um número racional, terás condições em resolver este item.
1.1. Utilizando Contra-Exemplo
Como no enunciado fala que são números racionais e o cálculo é irracional, indica que há divergência, logo vamos utilizar o contra-exemplo. Vamos utlizar o a=2 e b=3 que são racionais.
Agora vamos pegar o b elevado na a, logo fica 3², que resulta em 9. Na afirmação diz que o resultado é sempre irracional, mas 9 é racional, logo temos um contra-exemplo, o que nos diz que é uma afirmação falsa.
Resolvemos o item (I), agora te prepara para o item (II)!
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2. E agora? Resolvendo o item II
Vamos para o seungo item da questão: Será que é verdadeira?
Novamente a questão traz que a e b são positivos e racionais. Mas o que a questão nos diz: Se a≤b, então a soma de a e b, onde o resultado se divide por 2, então o resultado estará entre a e b.
Mas o que isso significa? É a Média Aritmética, onde o resultado sempre fica entre os dois valores utilizados na média.
Porém, vou te trazer um exemplo numérico, apenas para tu teres clareza na questão da média artimética, mas não é uma demonstração, apenas exemplo.
Se calcular a média aritmética entre 6 e 10, teremos 8, que ficará entre 6 e 10, e essa propriedade da média artimética serve para todos os números reais.
Logo esta afirmação é verdadeira, mas deixando claro que não demonstrei a veracidade, mas em um vestibular que tu tens em média 4min pra resolver cada questão, identificando que é média aritmética, já podes afirmar que é verdadeira.
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3. Resolvendo o Último Item com Logaritmo
Vamos para o último item que envolve logaritmos.
Novamente a questão nos diz que a e b são positivos mas menores que 1. Mas, se calcular log(a) e log(b), o resultado deles se tornará negativo. Será que procede?
Como podemos começar? Podemos partir do que foi afirmado, que a<b<1 e, uma coisa legal que podemos fazer, é aplicar log em todos os termos desta afirmação.
Já adquirimos o log(a) e o log(b) conforme a afirmação, porém, quanto vale log(1)? Sabendo que o logaritmo nada mais é o expoente visto de outra maneira e, sabendo que este log é de base 10 com resultado 1, ficará escrito da seguinte maneira:
Daí te pergunto: Qual o valor do expoente de uma potência que sempre resulta em 1? O valor é zero, logo se log(1) é o expoente de 10 que resulta em 1, então log(1)=0, e a nossa expressão ficará assim:
log(a)<log(b)<0, o que nos diz que a afirmação é Verdadeira.
Como o item I é falso e os itens II e III são verdadeiras, a alternativa correta é a (D) e fechamos a conta!
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