Método de Sarrus para Calcular Determinante
Imagina tu teres uma matriz 3×3 e pedem pra ti calculares a determinante desta matriz? Pois existe um método tri legal para calcular, e este método se chama Método de Sarrus (Na pronúncia se diz Sarrí). Te trago uma questão do último concurso de Viamão onde analisamos os possíveis valores de x para uma matriz dada. Te convido a vir nesta jornada de leitura e aprendizado!
1. E o Determimante Desta Matriz?
Para dar o ponta pé inicial, te apresentarei a questão que caiu no último concurso para professor de Viamão.
Esta questão pede para analisar os possíveis valores de x para o Determinante da matriz M, e claro, com 5 alternativas para verificar qual é a correta.
Como pede para analisar esta matriz através do determinante, nada melhor que calcular o determinante da matriz M.
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2. Aplicando o Método de Sarrus
Existem diversos métodos para calcular determinantes de matrizes, porém Sarrus desenvolveu esta técnica para facilitar o cálculo do determinante de matrizes 3×3. Mas lembrando, este método serve apenas para matrizes 3×3, isto é, matrizes com 3 linhas e 3 colunas.
Para começarmos a aplicação do método, a primeira coisa que tu deves fazer é copiar as duas primeiras colunas da matriz, como mostra no quadro a seguir.
Feito isso, tu deves pegar as 3 Diagonais Principais e, cada diagonal, calcular o produto dos elementos de cada diagonal.
Claro que eu trago uma dica muito boa: Para ter uma organização melhor, tu podes ir colocando o resultado do produto de cada diagonal principal na parte de cima.
Se tu observares, o 1º resultado (zero) é resultado do produto de 1 por X por 0. (Outra dica: Sempre que tiver ao menos UM elemento zero na diagonal, por obviedade o resultado será zero, visto que qualquer número multiplicado por zero dará zero).
O 2º resultado (2X) advém do produto entre 2, 1 e X. Já o 3º resultado (zero) vem do produto entre 3, 0 e 0.
A seguir, tu vais fazer a mesma coisa, porém com as Diagonais Secundárias, multiplicando os elementos de cada diagonal e colocar os resultados abaixo da matriz.
Olha só que fácil, o 1º resultado (3X²) vem do produto entre X, X e 3, já o 2º e o 3º resultado, resultou em zero pois onde tem ao menos um elemento zero na diagonal, o resultado será zero.
A próxima etapa é somar os elementos de cima e de baixo, enquanto isso tu vai percebendo que a técnica é bem simples e, neste cálculo, só não estamos obtendo um resultado númerico pois adiante iremos analisar os possíveis valores de X.
Agora sim podemos concluir o cálculo do determinante desta matriz M, subtraindo o resultado de cima pelo baixo.
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3. Analisando o resultado do Determinante
Pois então, como temos a incógnita X no resultado da determinante da matriz M, logo devemos analisar cada item (do a ao e) da questão proposta.
3.1. (A) Determinante de M é nulo se X=-1?
Para determinarmos se Det(M) é nulo em X=-1, devemos substituir este valor no determinante encontrado em 2, ou seja, em Det(M)=2X-3X².
Calculando o determinante substituindo -1 no lugar do X, com todos os passos descritos acima, chegaremos ao valor de Det(M)=-5, isto é, como não resultou em zero, logo o item (A) não é a correta.
3.2. (B) Determinante de M é Sempre Nulo?
Para o determinante de M ser sempre nulo, ou seja, qualquer valor de X que substituir em 2X-3X² tem que dar ZERO. Porémmmmmmm…. em (A) substituindo X=-1 já resultou em -5 (Diferente de zero), o que já elimina a hipótese que o determinante de M é sempre nulo, logo (B) é incorreta também.
3.3. (C) Determinante é Sempre Positivo?
O próprio (A) contradiz que o determinante de M é sempre positivo, já que encontramos o valor -5, que obviamente não é um valor positivo, logo a alternativa (C) não é correta.
3.4. (D) Determinante de M é Nulo se X=0?
É o mesmo raciocínio calculado em 3.1. (A), só que a gente vai substituir no lugar do X em Det(M)=2X-3X² o valor ZERO.
Calculando 2×0-3×0², teremos como resultado Det(M)=0, isto é, para X=0 o determinante realmente resultou em zero, ou seja, é nulo se X=0, o que traduz na alternativa CORRETA.
3.5. (E) Determinante de M é Sempre Negativo?
A própria alternativa (D) já contradiz que o determinante de M é sempre negativo, já que anteriormente encontramos um valor igual a zero, ou seja, não é negativo, logo a alternativa (E) é incorreta.
E está feita a análise do determinante de M!
Agora, se quiser assistir o vídeo que eu explico esta questão, lá no meu canal do Youtube, BORA CLICAR AQUI!
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