Manipulando Funções
Pensa em uma função que, ao invés de aparecer um f(X), aparece um f(X+1)? E o pior, ainda pede para tu transformares esta função f(X+1) em f(X)? Parece algo de outro mundo, mas com alguns artifícios e manipulações de funções, verás que é muito fácil.
1. Qual Função?
Seja uma função f tal que f(X+1)=X²-3X+2. A pergunta que não quer calar: Qual a função f(X)?
Seria interessante transformar esta função em um produto de binômio, para ter um começo.
E por que coloquei um produto de duas parcelas? Na verdade é de propósito, pois como é uma função quadrática, isto é, o maior expoente do X é 2, então o produto será sempre do tipo (X-a)(X-b).
Porém, o mais interessante é que o valor de a e o valor de b são as raízes desta função, ou seja, são os resultados de X²-3X+2=0, logo, para começarmos, devemos calcular as raízes desta função.
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2. Calculando as Raízes
Para encontrarmos as duas raízes da equação X²-3X+2=0, eu vou utilizar a propriedade da soma e produto das raízes de uma equação do 2º grau, que diz o seguinte:
2.1. Soma e Produto
Seja aX²+bX+c=0 uma equação quadrática e r1 e r2 suas raízes, logo, a soma destas raízes (r1+r2) é igual a -b e, o produto das raízes (r1 x r2) é igual a c.
Em outras palavras, a soma das raízes sempre será o número que acompanha o X com o sinal inverso e o produto das raízes sempre será igual o número que está “sozinho”, sem acompanhar nenhum X.
2.2. Utilizando o Nosso Exemplo
Começando com o produto das raízes, sabendo que sempre será igual a c, ou seja, c=+2, quais são as possibilidades de multiplicação que resulte em +2?
Como tu viste, pode ser 1×2 ou -1x-2, estes que são as possibilidades de serem as nossas raízes. Mas qual par de números escolher? Daí vamos para a propriedade da soma, ou seja, vamos somar os pares.
O primeiro par resultou em +3 e o segundo par -3, mas qual é o valor de b, ou seja, que acompanha o X? É o -3.
Se b=-3 e a soma das raízes é sempre o b com o sinal inverso, logo a soma destas raízes deve resultar em +3 e, olhando as somas, o que resulta em +3 são os números 1 e 2, logo esses números são as raízes desta função.
Agora sim podemos reescrever a nossa função utilizando as raízes 1 e 2.
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3. Reescrevendo a Nossa Função
Como conseguimos encontrar as raízes da nossa função (1 e 2), podemos reescrevê-la da seguinte forma:
Feito isso, como tem X+1 dentro do f, seria interessante ter um X+1 também na expressão da função, pois neste caso temos X-1 e X-2 dentro da expressão.
Aí que eu vou te mostrar algumas manipulações dentro desta função, e pra começar, podemos modificar X-1 sem alterar esta função.
Para modificar X-1 sem alterar esta função, podemos colocar no lugar desta parcela (X+1)-2, pois se fizer +1-2, teremos X-1, não alterando em nada.
Podemos fazer o mesmo com a parcela X-2, a transformando em (X+1)-3.
Se tu observares, o X+1 aparece tanto dentro do f como na expressão, o que faz com que estamos no caminho certo para chegar ao nosso objetivo, isto é, descobrir f(X).
Agora uma outra manipulação que podemos fazer é: substituir todos os X+1 por X. E por que podemos fazer isso? Porque podemos substituir por qualquer variável que não vai alterar a função.
Estamos quase prontos, basta perfumarmos um pouquinho esta função, ou seja, podemos multiplicar as parcelas X-2 e X-3 utilizando o famoso “chuveirinho”.
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4. “Perfumando” Nossa Função
Como temos um produto binomial entre (X-2) e (X-3), para fazermos o cálculo, basta utilizar a técnica do “chuveirinho”, pegando o termo X de (X-2) e multiplicar pelos termos de (X-3). Logo X.X=X² e X.-3=-3X.
Agora temos que pegar o termo -2 de (X-2) e multiplicar pelos termos de (X-3), ficando -2.X=-2X e -2.-3=+6.
Para finalizar, basta olhar para os termos semelhantes, ou seja, os termos -3X e -2X, onde são os únicos que podemos operar e, calculando -3X-2X teremos -5X (Calculamos a parte numérica e mantemos o X).
Logo, temos finalmente a função f(X) que queríamos: f(X)=X²-5X+6.
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