Você Consegue Calcular Esta Área Envolvendo Círculos?
Quando se fala em calcular área hachurada de uma figura geométrica, bate um pavor em qualquer um, mas neste post, tu aprenderás de um jeito fácil e didático a calcular a área hachurada onde se tem um quarto de círculo e dois semicírculos. Vem comigo até o final.
1. Conhecendo a questão
Seja um quarto de círculo cujo raio mede 6cm e, dentro desta figura, dois semicírculos inscritos, isto é, grudadinhos dentro do quarto de círculo.
A questão é, qual a área hachurada desta figura, isto é, a parte vermelha do quarto de círculo?
Para podermos calcular, é importante saber calcular áreas de figuras hachuradas.
2. Calculando Área Hachurada
Qualquer área hachurada, a melhor maneira de calcular é: Calcule a área da figura maior, ou seja, este quarto de círculo, que chamaremos de Aq.
Depois de calculado o quarto de círculo (figura maior), basta calcular as áreas das figuras que estão dentro desta figura maior.
Estas figuras menores chamaremos de A1 (semicírculo maior) e A2 (semicírculo menor).
E para finalizar, basta utilizar a área da figura maior e subtrair pelas áreas das figuras dentro do quarto de círculo, logo o resultado final será a área da figura hachurada.
Tenho um exercício parecido com este para calcular a área de uma figura hachurada, bastando CLICAR AQUI!
3. Calculando a Área do Quarto de Círculo (Aq)
Vai ver que é muito fácil calcular este quarto de círculo, bastando apenas saber a área do círculo, que segue a seguir no quadro.
Sabendo que a área do círculo é A=πr² e, que um quarto de círculo, como o nome já diz, é a quarta parte deste circulo,o que matematicamente podemos dizer que: um quarto de círculo é 1/4πr², ou seja, Aq=1/4πr².
Sabendo que o raio deste quarto de círculo é 6cm, basta substituir o 6 no lugar do r na fórmula.
Desenvolvendo os cálculos, ou seja, calculando 6² (que resultará em 36) e dividindo 36 por 4 (isso podemos fazer quando só envolve multiplicação e divisão, onde resultará em 9), teremos como resultado de Aq=9π.
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4. Calculando a Área do Semicírculo Maior A1
A lógica é a mesma em relação ao quarto de círculo, porém é um semicírculo, bastando saber o cálculo da área do círculo (A=πr²) e, como o semicírculo é a metade de um círculo, logo a fórmula da área do semicírculo é A1=1/2πr².
Só que neste caso, “não temos” o valor do raio, digamos, de uma forma direta, mas se tu observares, o diâmetro deste semicírculo é o mesmo valor do raio do quarto de círculo, isto é, 6cm e, como o raio é a metade do diâmetro, portanto o raio deste semicírculo é 3cm.
Agora como sabemos que o raio deste semicírculo é 3cm, basta substituir este valor na fórmula A1=1/2πr², ou seja, no lugar de r, colocamos o valor de 3.
Desenvolvendo o cálculo, 3²=9 e, 9 dividido por 2, teremos 4,5, logo o resultado da área de A1 será A1=4,5π.
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5. Calculando a Área do Semicírculo Menor A2
Por ser um semicírculo também, obviamente a fórmula será A2=1/2πr².
O desafio para calcular a área A2 é identificar o raio deste semicírculo e, para isso, deverás prestar atenção ao ponto de encontro entre os dois semicírculos.
Por que é interessante ver esse ponto de encontro? Pois se desenhar um segmento a partir do centro do semicírculo de A2 com este ponto de encontro (que é o raio do semicírculo menor, que vamos chamar de r) e com o centro do semicírculo A1, vai ser um bom ponta-pé inicial para desenharmos um triângulo.
Claro que, a medida do segmento que vai do ponto de encontro dos semicírculos ao centro do semicírculo maior (A1), é o raio de A1, logo este segmento vale 3.
Seguindo do centro de A1 até o ponto de Aq, temos o mesmo raio do semicírculo de A1.
E agora podemos fechar este triângulo partindo do centro de A2 até o ponto de Aq de medida 6-r (porque a altura vale 6, e como a altura é constituida pela altura do triângulo e o raio do semicírculo r, a altura do triângulo terá 6-r, uma questão de lógica).
Se observares, é um triângulo retângulo de medidas r+3 (podemos garantir que é um segmento único pois os semicírculos são tangentes), 6-r e 3. E claro, é um triângulo retângulo pois a figura maior é um quarto de círculo, ou seja, o ângulo é 90º.
E para descobrirmos o raio do semicírculo menor, utilizaremos o Teorema de Pitágoras para calcular r.
5.1. Utilizando o Teorema de Pitágoras
Para relembrar, o Teorema de Pitágoras diz o seguinte: Que a Hipotenusa ao quadrado é igual a soma do quadrado dos Catetos.
No nosso exercício, a hipotenusa vale r+3 e os catetos valem 6-r e 3, portanto podemos utilizar o Teorema de Pitágoras substituindo estes valores na fórmula. (Isso para acharmos o r do semicírculo menor, então não desista, está quase lá!)
Como calculamos (r+3)²? Basta elevar o r ao quadrado, o 3 ao quadrado e multiplicar o expoente 2 por 3 e por r que vai dar +6r. O mesmo se faz para o (6-r)², elevando o 6 ao quadrado, o r ao quadrado e o expoente 2 multiplicando o r e o -6 que resultará -12r. E o 3² só desce.
Os r² e os 3², como estão em lados opostos da igualdade, podemos cortar estes números.
Isolando o r, conforme o quadro a seguir com o passo a passo, chegaremos a r=2.
Podemos dar sequencia no cálculo de A2, então fique aí até o final deste post para saber a área hachurada desta figura.
5.2. Concluindo a Área de A2
Sabendo que o raio do semicírculo menor, ou seja, de A2, é igual a 2, basta substituir 2 em A2=1/2πr², ficando A2=1/2π2².
Resolvendo esta fórmula, como 2²=4 e relacionando 4 com 1/2, ou seja, devemos dividir 4 por 2, o que resultará em 2, ficando no final A2=2π.
Temos o resultado de Aq, de A1 e de A2, agora podemos finalmente calcular a área hachurada desta figura!
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6. Finalmente Calculando a Área Hachurada
Como já temos em mãos os valores de Aq, A1 e A2, bora calcular a área hachurada.
Sabendo que Aq=9π, A1=4,5π e A2=2π, basta substituir estes valores na nossa conta.
Visto que o π aparece em todas as parcelas, tu podes subtrair somente os números e manter o π.
Já que o resultado da área hachurada é 2,5π, isso significa que é 2,5 vezes o π. Sabendo que π=3,14, podemos multiplicar 3,14 por 2,5, logo teremos o nosso resultado!
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